いやー、ネットの伝播能力すごいなー。嘘は書いてないつもりだけど、トンデモを招きかねない解説だったと反省しております。

posted at 02:08:43

今ふと気づいたけど、某スレでメドなんたら次数があたかも常識のように扱われていてこわい。明らかに僕が書いたブログ記事と内輪研究集会でのスライドのせいだろうけど、あれ超絶マニアックな上、あの概念の目的は実は理論の分類ではないですよ。そういう応用もできるよ、というネタ的に紹介しただけで

posted at 02:04:58

@aleo724 2+√2ではなく3+√2/10ではないでしょうか。いやまあどちらにしろあれなので無粋な突っ込みですが。

posted at 00:52:34

@Caspar394 わわわ。筋肉痛が翌日ちゃんと現れるのは今のうちだと思って喜んでおくことにします。

posted at 22:55:06

@tri_iro "標準モデルの外側から見て"はちょっとおかしかった。ω-矛盾な理論に標準モデルがあるわけないじゃん。えーと、そのω-矛盾な理論のモデルを固定して、その外側から、という意味です。　と自分にりぷらい。

posted at 22:30:18

@igaris そうですね。標準モデルの外側から見て、ということです。内的な文だけを考えるなら、そもそも「超準自然数が存在する」という主張の時点で意味不明なことになってしまうので。

posted at 22:23:28

あ、P=NPはΣ_2で記述できますね。ω-無矛盾性はΠ_3-健全性、とくにΣ_2-健全性を導くので、もしω-無矛盾な公理系でP=NPが証明できれば、必ずNP完全問題を多項式時間で解くことができます。たぶん。

posted at 22:20:24

ω-無矛盾なら、Π_3-健全だけど、Σ_3-健全とは限らないんだよね。P=NPってどれくらいの算術的複雑さで記述できるんだろう。

posted at 22:15:40

@igaris ∃xφ(x)を満たすxが仮に超準元であっても、それがどの元であるか分かることもありますし、逆に、∃xφ(x)が標準自然数で満たされたとしても、φを満たすxが何であるか判定する方法が存在しないことも多々あると思うのですが。

posted at 22:12:13

@igaris それを"具体的に見つけることが出来ない"と表現できる理由が分からないのですが。

posted at 22:05:01

@igaris 超準自然数が"存在することは証明できるが具体的に見つけることができない"というのは、どういう意味ですか？

posted at 22:02:00

Kechris本はちゃんと読んでみると色々面白いことが書いてあるなあ。昔読んだときは抽象的だし目的もよく分からないしであまり深く読むことが出来なかったのだけれど、今読むと色々な発見が多い。

posted at 21:48:58

昨日ちょっとバドミントンやったくらいで全身筋肉痛とか

posted at 21:45:49

っていうか、頑張って探してきたのに、全部普通にwikipediaに書いてあった。

posted at 02:56:20

これか： H. Friedman, N. Robertson, and P. D. Seymour, "The Metamathematics of the Graph Minor Theorem" (1987)

posted at 02:55:38

あれ、でも、wqo関連の話となると、Hirst以外も相当手を出してそうだな、と思って調べてみたところ、Π^1_1-CA_0でも証明できない代物だということが分かっていたようだ。クラスカルの定理とかと同様wqo関連の話なので、やっぱり超複雑な所まで持ち上がるんだなあ。

posted at 02:50:30

ラムゼー関連を除く組合せ論系の逆数学は、Hirstがやってないなら誰もやってないと思っていいんじゃなかろうか、とか適当なことを言ってみます http://bit.ly/d3eQhH >http://twitter.com/pirapira/statuses/10526632224

posted at 02:34:32

この間理学部全体のシンポジウムで口頭発表をしたんですけど、「数学の人だけは『○○の役に立つ』ということに一言も触れないから癒される」という謎コメントを頂きました。QT @repeatedly: え，駄目なの？ RT @a_hisame: そういえば、「研究動機：面白そうだから」と

posted at 00:32:30

@pullus 誕生日おめでとうございます！

posted at 00:18:37

@naotoakiyama 僕が学部生のとき、代数学の講義で指定されていたのは森田先生の「代数概論」でした。あと、この前TAやった講義で指定されていたのは永尾汎先生の「代数学」ですが、一応TAのためにぱらぱら眺めてみたところ演習多めで初学者にも結構分かり易そうな教科書でした。

posted at 23:01:10

@georg_logic 日ごろの運動不足解消もかねて、大学の体育館使って友達とバドやってました。最初はなまぬるくやっていたんですけど、途中からヒートアップしてついに膝を負傷する羽目に……。

posted at 21:12:39

ひさしぶりにバドミントンやったら膝痛めた

posted at 20:39:15

そういえば、高校教員になることになった同研究室の後輩の赴任先の高校が決まったらしいのだけれど、その高校の場所が、まさかの僕の実家から約3kmの距離。まあ、残念ながら僕の母校では無いけれども。

posted at 16:18:05

夕飯食べに行こうという誘いに乗ったら、モールにショッピングに行った後ボーリングとビリヤードやって、その後は不眠で朝までカタンという謎のフルコースだった。不眠で頭が働かない中でのぐだぐだ頭脳ゲームこわい。　というわけでおはようございます。

posted at 16:03:41

とりあえずフォーマル・トポロジーとCZFはちゃんと習得したい感じがするので明日ちゃんと調べよう。

posted at 00:49:14

@salmonsnare やあ。

posted at 22:45:48

@ytb_at_twt 報告書おつかれさまです。構成的数学については僕は正直ど素人なので、完璧に理解できた講演はほとんど無いのですけれども、色々、現代的な構成主義の話題を聴けて楽しかったです。しかし、1人か2人くらい真の構成主義者が混じっていても面白いとは思うんですけども。

posted at 22:35:54

仮に構成的数学の現在の主流が構成的逆数学だとすると、真の構成主義者ってのはやっぱり現代にはほとんど存在していないんだろうなあ。現代の構成的数学の研究者は、非構成的操作を信用できないから構成的数学をしているのではなく、「構成とは何か」を知りたいから構成的数学をしているのだろう。多分

posted at 22:24:40

僕は構成的数学は素人なので、詳細な内容の呟きとかは他の参加者ツィッターユーザーに任せます。というわけで後は任せた！

posted at 22:20:14

構成的数学の研究集会は、大半が フォーマル・トポロジー/ポイントレス・トポロジー, WKL（うぃーくけーにっひずれんま）、BFT（ブラウワーふぁんせおれむ）、CZF（こうせいてきZF）で出来ておりました。

posted at 22:17:53

CZF関連もちょっと気になるなあ。でも、RathjenがやってるみたいなCZFのハードな証明論とか、並の研究者が迷いこんだ日にはもはや何も理解出来ずに精根尽き果てそうで怖い。

posted at 22:15:30

しかし、構成的数学の研究集会なのに、予想外に逆数学っぽい発表が多かったのに驚いた。主催者が構成的逆数学の人だからかな。とりあえずみんなWKLとFANが大好きだということは分かった。

posted at 22:10:58

証明論の大天才Rathjenさんも「それどういうことよ」みたいな質問してたし、あそこの説明にはギャップがあると思うけど、講演の本筋ではなかったし間違っていても問題は無いといえば無いけども。

posted at 22:05:31

しかし、「PAの保存的拡大にならない」と主張していたのなら、「いや、それはありえない」と反論できるのだけれど、「ハイティング代数の保存的拡大にならない」という主張だと、「ハイティング代数だったらそうかもしれないなあ」となんともいえない結論に。

posted at 22:01:43

あ、さっきのツイートはn≧3についてです。なお、僕が想像している2次元無限ラムゼーの定理なら、IΣ_2の保存的拡大になるはず。IΣ_2で使えるようにしたマサイアス強制法の変種を使ってモデルをがりがりジェネリック拡大すればおｋ

posted at 21:58:29

任意のnについて、n次元無限ラムゼーの定理はペアノ算術の保存的拡大であるACA_0とRCA_0上同値になるはずだから、ペアノ算術から導かれないパリス・ハーリントンは使えないと思うんだけど、もしかしてあの発表の2次元無限ラムゼーって僕が創造しているのと違うのかな。

posted at 21:55:08

今日の最後から二番目の話、二次元無限ラムゼーの定理はハイティング代数の保存的拡大でないことがパリス・ハーリントンの定理を使って分かる的なことを言っていたけど、あれはよく理解できなかった。無限ラムゼーからパリス・ハーリントンは導出できないんじゃないのか。

posted at 21:52:52

こんな時期に猛吹雪だとか金沢はなんて鬼畜な地域なんだ、と思っていたけど、あの日は色んな所で大雪だったらしいね。どうやら金沢を誤解していたようだ。

posted at 21:46:13

ただいまー。仙台に帰ってきたら、なんか道路脇に雪の壁が出来ている件について。

posted at 21:44:29

僕のような駄目人間は、「自宅でしかtwitterやらない」とかちゃんと決めておかないと、どんどん堕ちていくのです。というわけで、研究集会の終わる金曜までtwitterから離脱します ﾉｼ

posted at 22:49:02

出張中はtwitterしないと心に決めていたのに、議論がどうなったか気になってついにtwitter禁を破ってしまった。

posted at 22:47:40

@masahiro_sakai @ytb_at_twt お礼を言うのが遅れました。色々と情報ありがとうございます。構成主義と選択公理についてもう少し勉強しておきます。

posted at 22:42:20

@adscft おお、最近完成したばかりだったんですか。確かにかなり綺麗でしたね～。

posted at 22:41:10

@anbyk 感覚的には、NのΣ_n-truthのdegreeが0^{(n)}なんです。quantifierを1レベル上げる毎にチューリングジャンプも1段階上がる感じです。で、最終的にTh(N)のdegreeが0^{(ω)}になるという。

posted at 22:39:04

@tomo3141592653 もちろんそういう考え方も出来ると思います。その上で、選択公理を認める人は「選択公理を認めたらこういうことができる」という研究をして、そうでない人は異なる仮定で研究をしているだけかと。信用できない仮定を前提においた研究をしたい人はあまりいないので。

posted at 22:37:39

日本海に面している県に始めて来た気がする、と思ったけど、よく考えたら京都と兵庫（神戸）も一応日本海に接してるので、初めてじゃありませんでした。

posted at 22:17:34

金沢駅なんてそこそこでかい駅に自動改札が無いことに驚いた。

posted at 22:11:14

もちろん、僕が無知なだけでそういう周辺に面白い話があるかもしれないし、面白い話があることを知ったら興味を持つ可能性は高いけど。

posted at 22:08:44

ちなみに「フル選択公理に興味が無い」と言ったのは、「フル選択公理を研究するという行為に興味が無い」という意味です。僕は"選択公理自体を対象とする研究"に対してはdegree的な興味しかないので、フル選択をさすがにdegree的分析するには無理がある的な意味で。

posted at 22:07:32

一応もう一度言っておくと、僕は選択公理を否定する気なんかさらさらないどころか、選択公理使いまくりです。自分の専門分野だと選択公理が必要になる場面は少ないですけれど、必要になったときは特に気にせず選択公理使ってますよ。無理に構成的にやろうとするより選択公理使った方が見やすいし。

posted at 22:00:48

たぶん僕は選択公理に対して、逆数学あるいは再帰理論からの興味しかないので、数学の立場との対応は語れない気がします。「こういうタイプの選択公理からはこういう超越性が生まれて面白い」という感覚でしか選択公理を見てないので、その超越性がどんな立場で認められるかとかいう話はよく分からない

posted at 21:50:31

@ytb_at_twt 別に選択公理についての不毛な印象論をするつもりはなかったのですが、僕には構成的立場についての知識が全然無いため、旧時代的な議論になってしまったかもしれません。

posted at 21:45:45

むしろ僕は最初選択公理を擁護するつもりで議論に参入したんですけど、なんかよく分からんことになってきている@金沢

posted at 21:25:17

@anbyk Th(N)のdegreeは0^{(\omega)}です（ω回チューリングジャンプ）

posted at 21:20:53

というわけで書き逃げみたいな感じになって申し訳ないのですが、空港いってきます。

posted at 14:21:18

地味にそろそろ出発しないと飛行機に乗り遅れそう。明後日の研究集会は朝からなので、今日のうちに飛行機で目的地へ飛ぶのです。

posted at 14:20:20

なお僕自身は別に構成主義でも選択公理認めない主義でもありませんが、そういう立場にも価値はあると思っている的な主義です。

posted at 14:07:45

あ、構成主義と選択公理認めない主義はまた別なので、ごちゃまぜにして書くのはまずかったかも。

posted at 14:04:32

構成的順序数（ω_1^{CK}未満）のレベルまでのLの階層なら構成的と言ってよい気もします（その段階で既に計算不可能な集合は沢山入ってくるけれども）。でも、可算順序数の段階で、再帰的到達不能順序数・再帰的マーロ順序数・再帰的反映順序数とか現れるので、それは構成的といっていいのか…

posted at 14:00:58

@h_kagami もちろんLをある種の計算構造として解釈できるのは確かです。認容順序数のところまでのLの階層は適当な無限時間TMで計算可能なものに実際対応しますし。ただ、巨大なOrdinalをオラクルとして認めるというのを構成主義者が認められるかどうかは難しいと思います。

posted at 13:57:55

@h_kagami 「全ての集合が構成的である」をある種の公理的なものとしておくのがブラウワー流の直観主義数学だったと思います。ただ、構成的数学な人はあんまりこれは認めたくないと思います。なんかそういう仮定を置いちゃうこと自体が超越的な気もしますし。

posted at 13:54:12

いや、好きですけどね。L_{ω_1^{CK}}の先のところも。というか、Lの階層というよりJensenの階層か。

posted at 13:51:54

個人的にはL_{ω_1^{CK}}の先とか意味不明すぎる。まあ、L_{ω_1^{CK}}の時点で超算術的集合は全部含んじゃうくらい超越的だけれども。超算術的くらいまでなら個人的に可愛いレベル。

posted at 13:50:17

ゲーデルの構成的宇宙Lの階層は全然構成的じゃありません（キリッ

posted at 13:46:10

@h_kagami 「構成的でないものも存在し得るとは思うので、そういうものに対しては選択できないよ」という立場はあり得ると思います。

posted at 13:45:19

@patho_logic うわ。ZFC+￢無限公理って思いっきり矛盾してますね。ミスミス。

posted at 03:08:52

@h_kagami たしか（ZFC+￢無限公理）＝ペアノ算術 だった気がします。

posted at 03:05:52

@pirapira 無限を扱いたくないなら、一階算術ではまずいんでしょうか？

posted at 02:41:54

@h_kagami 選択公理を適当な論理式のクラス（Σ^1_nとか）に制限したときの強さの解析とかの研究は結構面白いですよ。生産的かどうかは分かりませんが。

posted at 02:40:27

っていうか、明後日から構成的数学の研究集会に参加・研究発表予定の人間が選択公理を擁護するのもあれですね。構成的数学？なにそれおいしい？

posted at 02:29:30

選択公理が超越的なものの存在を保証しすぎる＆選択公理を中高生に教えるのは微妙、というのは同意なんですけど、選択公理をより弱い可述的操作で置き換えられるとは個人的にはあんまり思えないかも。

posted at 02:27:07

可述的な操作が欲しいということなのかなあ。

posted at 02:08:41

選択公理が必要だと証明されているような定理なんて幾らでもあるので、どんな方法を考えても、結局、選択公理と同等な何らかの非構成的操作は必要になるでしょうねー。

posted at 02:00:14

まあ、フル選択公理にはあんまり興味ないけど。Σ^0_1選択は計算可能な操作で出来るので、計算可能な操作でギリギリ出来なくなるラインである「Π^0_1選択」を考察するのがマイブーム。

posted at 00:57:17

超越的すぎて認めがたいという感覚も無いことは無いけど、どういう思考的な操作が超越性を生み出し得るかに関する興味深さの方が強かったりなんかして。

posted at 00:55:15

個人的には選択公理が真かどうかと訊かれても答えづらいけど、一見整合的で自然っぽい思考的操作でありながら、選択公理は途方も無い超越性を生んでくれて、その超越性がどの程度のものなのか解析するのが面白い、という意味で選択公理は好き。

posted at 00:52:48

@anbyk 確かに選択公理が必要となる基礎的定理に気を掛けるのは数学くらいなので、数学以外の分野ではしっかり学ぶ必要はあまり無いと思います。単純に選択公理はさておき集合論とかちゃんと教える所って数学専攻以外にあるのかなーという素朴な疑問でした。

posted at 00:36:36

数学教育として、集合論偏重で選択公理なんか扱ったりするような所って数学科以外にあるのかな。数学科だったらいつかは集合論や選択公理に立ち入らなくてはならないわけで、自分が受けた教育だと早すぎもせず遅すぎもせず結構良いタイミングでその段階に入ってくれたけれども。

posted at 00:12:09