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@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

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2019年12月13日(金)13 tweetssource

13時間前

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

数研講座p43、[研究]ネイピアの定数、補題3-1、(1+(1/n))^nの単調増加性。n=3で考えると確かに(4/3)^3<(5/4)^4だ。(5/4)^4は(5/4)^3に5/4(>1)をもう一回掛けて大きくしたものだが、いっぽうで4/3>5/4なので、全体として大きくなるのか小さくなるのか、いまの考え方ではさすがに分からない。

posted at 12:12:31

2019年12月12日(木)17 tweetssource

12月12日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

基本例題020でb_n=1/a_nを経由しない別解。漸化式をひとつずらして辺々引き算するとa_n+1.-a_n=a_n.^2-a_n-1.^2、右辺は(a_n.+a_n-1.)(a_n.-a_n-1.)ゆえ、a_nの階差はK=a_1.-a(>0)から始めてひとつ進むごとにa_n.+a_n-1(>1)倍となり、すべてKより大きい。したがってa_n>a+nK。

posted at 17:53:15

12月12日

@works014

なんでやねんDTP/おぢん@works014

(どこのえらい先生かしらんけど…初校をいただいた通りに直しましたやん…で? なんでこんなに修正がでるの? 修正ちゃうやん、改変やん…他人がする仕事のことをどう思っておられるのでしょうか? アホか? はじめからちゃんとした原稿をだしたらええだけちゃうの? ホンマ腹立つわ…afdr+bk…)

Retweeted by ぼんてんぴょん(Bontenpøn)

retweeted at 10:48:01

12月12日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

y=x^2-2とy=xのグラフを描けば、2より大きい値からスタートすると正の無限大に発散することは容易に納得できる。また2や-1では定数列になる。しかしそれ以外だとずいぶん変な動きになるな。とりあえず-(1±√5)/2では振動することが分かった。

posted at 01:52:42

12月12日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

娘が「足すと●、引くと▲」の問題を、1問目は「和-差で小の2倍」、2問目は「和÷2で平均」という方法で解いていた。わざと変えたふうでもなく、ただそのときの気分の赴くままに解いている。

posted at 00:42:34

12月12日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

ちなみにa_n→αとして、もとのa_nの漸化式で同じことをやると、α=2という解が出てくる。そこから言えるのは「a_nが***収束するとすれば***極限値は2のはず」、つまり「収束しないか、2に収束するかのいずれか」ということまで。今回は実際、収束しないので「2」に意味はない。

posted at 00:03:08

2019年12月11日(水)30 tweetssource

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

というわけで「解答」に対するイチャモンは不当な言いがかりでした、申し訳ありません。あとは「指針」の「収束数列の有界性」との関連が分かれば完全解決です。

posted at 23:56:25

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

その続きの箇所、0<b_n<1/2からβ≠-1は確実だがβ≠1/2かどうかは分からない。しかし今回は単調減少なので、すべてのnでb_n≦b_1<1/2だから、1/2に収束することはない、と。

posted at 23:48:23

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

ありがとうございます。なるほど、b_n=(b_n+1)^2.-2(b_n+1)(b_n)^2で考えてb_n+1をc_nとでも置くと、c_n→βでもあるわけですね。そして左辺も右辺もひとつの数列を定めており、すべてのnで等しい、つまり数列として一致するので、どちらで計算した極限値も等しいはずと。 twitter.com/dizzy_my_futur

posted at 23:38:58

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

特性方程式を解いて極限値を求めるやつ、高校数学でずいぶんお馴染みだった記憶があるけど、きちんと厳密に学んだことがない。みなさんどこでやり直すんでしょうか。

posted at 21:09:00

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

a_n→+∞の定義は本来「任意のMに対して」だが、「任意のM>0に対して」と勝手に限定しても良い。その範囲のMに対して「N以降でa_N>M」なるNがそのつどとれるなら、どんなMに対してもとれるからだ。またb_n→0は、正項数列なので「N以降でb_n<ε」なるNがとれればそれでよい。

posted at 17:11:03

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

チャート式p25、基本例題020(オリジナル問題)は次の補題が必要。
【補題】数列a_n,b_nは、任意のnに対して「a_n>0,b_n>0,(a_n)(b_n)=1」を満たすとする。このときa_n→+∞とb_n→0は同値である。

posted at 17:11:03

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

0≦(a_n.-√2)/(2a_n)を本気で(?)利用すると、もっと楽ができる。a_n.-√2<a_nという、何の条件も要らない不等式の両辺に、この非負なるものを掛ければ、(a_n.-√2)^2/(2a_n)≦(1/2)(a_n.-√2)が直ちに得られる。

posted at 16:28:07

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

チャート式p24基本例題019(3)の2行目の最後の「≦」は「=」。続く処理は、不等号が反転しないためにどの条件が効いてくるのか、ちょっと分かりにくい記述になっている。例えば「(1)より」の後の「0≦」は(筆者の意図に沿うなら)実際には関係なく、むしろ後ろの(a_n.-√2)が非負であることが効く。

posted at 16:23:31

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

ぼうや見てごらん、自分で決めた結果がこの有り様さ。ぼうやはおじさんの言うことを聞いていればいいのさ。これはぼうやのためを思って言っているんだよ。なに?同じことばかり言うから聞き飽きたって?ははは、おじさんの言うことはパターンが決まっているようだね。これは一本取られたね。

Retweeted by ぼんてんぴょん(Bontenpøn)

retweeted at 13:29:35

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

何の因果か、先ほどの「あるb_N以降で|b_n|>|β/2|」はそれを保証してくれる機能も果たしているので、「検討」の「十分大きい番号nを考えて、b_nがβに十分近づくようにし」というところに書き込みたい気分である。

posted at 13:14:53

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

(a_n)/(b_n)の場合も、あるb_N以降で0が現れないことが言えれば、(a_N)/(b_N)以降がすべて定義されるので、その極限を考えることができる。教科書の証明では最初にそれを断っているし、チャートのほうの「検討」にも同様の注意書きがある。

posted at 13:05:09

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

その辺をスルーしてる本は『数研講座』に限らないが、数列c_nがすべてのnで定義されていなくても、あるc_N以降ですべて定義されているなら、その前は読み飛ばして極限を考えることができる、とするのが通例のようだ。厳密な扱いはよく知らない。

posted at 13:05:09

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

いまの結果を使えば極限の性質の4(商の極限)が示せるが、「b_nに0が現れない」という仮定がなくなっている。そもそもb_nが0になることがあれば、そこだけ(a_n)/(b_n)が定義できないことになるが、それでも極限を考えていいのか?という気持ち悪さがある。

posted at 13:05:08

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

指針の(ii)「1/|b_n|が上に有界であること」というのはその通りなのだが、2/|β|が上界とは限らないことに注意。あくまで、ある項以降が2/|β|未満になるというだけで、それより前にもっと大きい項はあるかもしれない。しかしそれは有限個しかないので上に有界となる。

posted at 12:29:50

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

練習8の解答はチャート式p23基本例題018。|(1/b_n)-(1/β)|=(1/|β|)(1/|b_n|)|b_n.-β|と変形すると、1/|β|は定数、|b_n.-β|はいくらでも小さくできるから、問題は真ん中の1/|b_n|。これを上から押さえてやれば証明が完成する。

posted at 12:29:50

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

「b_n→βのεNによる定義において、εとして|β/2|を選ぶことにより、あるa_N以降の全項が|b_n|>|β/2|を満たすことを導け」結論のイメージが湧くだろうか。β(≠0)と0とが睨み合って数列b_nの行く末を見守っている。b_n→βから、数列はいずれ両者の中点β/2よりも外側の(0から遠い)領域になびいてゆく。

posted at 11:57:44

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

練習8のヒント(i)はb_n→βの定義そのままだが、(ii)はそのεとして|β|/2を選んだもの。(正でありさえすれば)εとして収束先に由来する値を選んだっていいというのは、当たり前だがちょっと面白い。このヒントだけで解けなければ、次のような誘導に従っても良い:

posted at 11:57:43

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

数列a_nは有界ゆえ、M≧max{|α|,|a_1|,|a_2|,…}なる正の実数Mがとれる。任意のεをとるとε/(2M)>0より、|a_{N_1以降}-α|<ε/(2M)、|b_{N_2以降}-α|<ε/(2M)なるN_1,N_2がとれる。N=max{N_1,N_2}とすると、N以降のnについて|a_n.b_n.-αβ|≦|a_n||b_n.-β|+|a_n.-α||β|<M(ε/(2M))+(ε/(2M))M=ε。

posted at 10:58:28

12月11日

@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn)@y_bonten

p36定理2-1(3)の証明、「また定理2-6(2)より|α|≦M,|β|≦Mも成り立つ」;これは使っても使わなくてもよくて、|α|,|β|以上のMを取り直すだけでもよい。ほとんど教科書と変わらないが別証を:

posted at 10:57:28

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